Uzun Bölme Kalanlı Bölme

 

10'luk sayı sistemi, sayıları yazarken kullandığımız sistemdir. Bu sistemde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olmak üzere toplam 10 rakam vardır. Her rakamın, sayıda bulunduğu yere göre bir değeri vardır. Buna basamak değeri denir.

Basamaklar ve Değerleri

Bir sayıyı yazarken her rakam, bir basamakta yer alır. Sağdan sola doğru gidildikçe, her basamak bir öncekinden 10 kat daha büyük olur.

Basamaklar:

• Birler basamağı: En sağdaki basamak (örneğin: 7)
• Onlar basamağı: Birler basamağının solundaki basamak (örneğin: 50)
• Yüzler basamağı: Onlar basamağının solundaki basamak (örneğin: 300)
• Binler basamağı: Yüzler basamağının solundaki basamak (örneğin: 4000)

Örnek olarak 5746 sayısını

5 binlik + 7 yüzlük + 4 onluk +6 birlik şeklinde çözümleyebiliriz.

5x1000 + 7x100 + 4x10 +6x1 = 5000 + 700 + 40 + 6 =5746

5000

  700

    40

+    6

5746

Bölme İşlemi Nedir?

Bölme, bir sayıyı (bölünen) eşit parçalara ayırma işlemidir. Örneğin, 12 elmayı 3 kişiye eşit olarak paylaştırmak isterseniz, her kişiye kaç elma düşeceğini bölme işlemi ile bulabilirsiniz.

Bölme İşlemindeki Terimler

Bölme işleminde 4 temel terim vardır:

1. Bölünen: Eşit parçalara ayrılacak sayı.
   Örneğin: 12
2. Bölen: Bölünenin kaç parçaya ayrılacağını gösteren sayı.
   Örneğin: 3
3. Bölüm: Bölme işleminin sonucunda her bir parçanın değeri.
   Örneğin: 4
4. Kalan: Eğer sayı eşit parçalara tam olarak ayrılamıyorsa, geriye kalan miktar.
   Örneğin: 13'ü 4'e bölersek kalan 1 olur.

Bölme işlemi:

Bölünen = (Bölüm x Bölen) + Kalan

Tam bölünebilme durumunda kalan 0 olur.

Her sayının 1 e bölümü kendisin verir.

Her sayının kendisine bölümü 1 e eşittir.

0 a bölme işlemi tanımsızdır.

Bölme, bir sayının başka bir sayının içinde kaç kez bulunduğunu değerlendirir. Bu böleni, bölenden arka arkaya kaç defa çıkarabileceğimiz demektir. Yani bölme işlemi aslında seri çıkarma işlemidir.

Seri çıkarma işlemi yapılırken, büyük sayılar söz konusu ise böleni tek tek çıkarmak çok uzun süreceğinden, basamak değerlerine uygun olarak, bölenin onluk sistemdeki katları çıkarılarak başlanır. İşlemin hızlı tamamlanması için önce en büyük katlar çıkartılır, bu nedenle bölme işlemine en soldaki basamaktan başlanır.

 

Örneğin, 8645  4 işlemine bakarsak, 4 8645 içinde kaç defa var veya 8645 den kaç defa 4 çıkarabiliriz. 8645 arka arkaya 4 çıkarma işi çok uzun sürecektir. Bunun yerine en sol basamaktan başlayarak, binler basamağında kaç kere 4000 çıkarabilirize bakarız:

① Binler | 8645 = 8000 + 600 + 40 + 5  → 8000’den 2 kere 4000 çıkarabiliriz. Bu adımda 2000 kere 4 çıkarmış olduk.  Bu durumda kalan sayı:

②  Yüzler |645 = 600 + 40 + 5 → Şimdi sıra yüzler basamağında. Kaç kere 400 çıkarabiliriz? 1 kere. Bu adımda 100 kere 4 çıkarmış olduk. Kalan sayı:

③  Onlar |200 + 40 + 5 → Şimdi sıra onlar basamağında. Kaç kere 40 çıkarabiliriz? 6 kere. Bu adımda 60 kere 4 çıkarmış olduk. Kalan sayı:

④ Birler | 5→ Şimdi sıra birler basamağında. Kaç kere 4 çıkarabiliriz? 1 kere. Bu adımda 1 kere 4 çıkarmış olduk. Kalan sayı:

1 → Bu kalandır. Bölme işlemini tamamladık. Kalanın, bölenden daima küçük olduğuna dikkat edelim.

Sırayla binler basamağından başlayarak bölme işlemini tüm basamaklar için tamamladık. Tüm basamaklar sonucunda 2000 + 100 + 60 + 1 = 2161 kere 4 çıkarmış olduk; bu da bölüm dür.

 

Başka bir örnek 8643  4

① Binler | 8643 = 8000 + 600 + 40 + 3  → 8000’den 2 kere 4000 çıkarabiliriz. Bu adımda 2000 kere 4 çıkarmış olduk.  Bu durumda kalan sayı

②  Yüzler | 643 = 600 + 40 + 3  →  Şimdi sıra yüzler basamağında. Kaç kere 400 çıkarabiliriz? 1 kere. Bu adımda 100 kere 4 çıkarmış olduk. Kalan sayı:

③  Onlar |200 + 40 + 3  → Şimdi sıra onlar basamağında. Kaç kere 40 çıkarabiliriz? 6 kere. Bu adımda 60 kere 4 çıkarmış olduk. Kalan sayı:

④ Birler | 3 → Şimdi sıra birler basamağında. Kaç kere 4 çıkarabiliriz? 0 kere yani hiç.  Bu adımda 0 kere 4 çıkarmış olduk. Kalan sayı:

KALAN | 3 → Bu kalandır. Bölme işlemini tamamladık.

BÖLÜM | 2000 + 100 + 60 + 0 =2160 kere 4 çıkardık; bölüm 2160

 

Başka bir örnek 804  8

① Yüzler | 804 = 800 + 0x10 + 4 → 800’den kaç kere 800 çıkarabiliriz? 1 kere. Bu adımda 100 kere 8 çıkarmış olduk. Kalan sayı:

②  Onlar | 4 = 0x10 + 4 → 0x10 =0’dan kaç kere 80 çıkarabiliriz? 0 kere. Bu adımda 0 kere 8 çıkarmış olduk. Kalan sayı:

③  Birler |4 →  4’den kaç kere 8 çıkarabiliriz ? 0 kere. Bu adımda 0 kere 8 çıkarmış olduk. Kalan sayı:

KALAN | 4 → Tüm basamaklar için bölme işlemini tamamladık. 4 kalan.

BÖLÜM | Tüm adımlarda toplam 100 + 0 + 0 = 100 kere 8 çıkarmış olduk. Bölüm 100.

 

Başka bir örnek 4607  5

① Binler | 4607 = 4000 + 600 + 0x10 + 7 →  Kaç kere 5000 çıkarabiliriz ? 0. Kalan sayı:

②  Yüzler | 4607 = 4000 + 600 + 0x10 + 7 →  Kaç kere 500 çıkarabiliriz ? 9 kere. 900 kere 5 çıkarmış olduk. Kalan sayı:

③  Onlar | 107 = 100 + 0x10 + 7 →  Kaç kere 50 çıkarabiliriz ? 2 kere. 20 kere 5 çıkarmış olduk. Kalan sayı:

④ Birler |  7 →  Kaç kere 5 çıkarabiliriz? 1 kere. 1 kere 5 çıkarmış olduk. Kalan sayı:

KALAN | 2 →  Bölme işlemi tamamlandı. Kalan 2.

BÖLÜM | 900 + 20 + 1= 921 kere 5 çıkardık. Bölüm 921.

 

Tüm bu adımlar takip edilirken sayıların açık yazılmasına gerek yoktur. Bu yüzden bölme işareti kullanılır. Takip edilen yol ise yukarıdaki ile aynıdır.

 

       

1. İşleme binler basamağından başlarız. (En soldaki basamak) 9’un içinde 6, 1 kere vardır. Sayıyı yazıp çıkarma işle­mi yaparız. 1’in bölümün binler basamağına yazıldığına dikkat edin. (Bu adımda 1000 kere 6 çıkarmış olduk.)
2. Çıkarma işleminin sonucunda yukarıdan 8’i aşağıya indiririz. 38’in içinde 6, 6 kere vardır. Sayıyı yazıp çıkarma işle­mini yaparız. 6’nın bölümün yüzler basamağına yazıldığına dikkat edin. (Bu adımda 600 kere 6 çıkarmış olduk.)
3.  Çıkarma işleminin sonucunda 2’nin yanına yukarıdan 4’ü indiririz. 24’ün içinde 6, 4 kere vardır. Sayıyı yazıp çıkarma işle­mini yaparız. 4’ün bölümün onlar basamağına yazıldığına dikkat edin. (Bu adımda 40 kere 6 çıkarmış olduk).
4. Yukarıda kalan 0'ı aşağıya indiririz. 0'ın içinde 6 ol­madığı için, yani sıfır kere olduğu için bölüme 0 ekleriz. 0’ın bölümün birler basamağına yazıldığına dikkat edin. (Bu adımda 0 kere 6 çıkarmış olduk). Bölme işlemi kalansız olarak tamamlandı.

• Bölme işlemine yüzler basamağından başlanır. 1’de 5 yoktur. 13’te 5, 2 kere vardır. (En soldaki basamaktan başlanır, bölenin en soldaki basamaktan büyük olması halinde yanındaki basamak veya basamaklar da dahil edilir. Örneğin bölen 51 olsaydı 5 i de dahil edip 135’te 51 kaç kere var diyecektik.) Bölüme 2 yazalım. Bölümdeki 2 ile böleni çarpalım. 2 x 5 = 10 eder. 13’ten 10 çıkardığımızda 3 kalır.
• 5 raka­mını 3’ün yanına alırız. 35'in içinde 5, 7 defa vardır. Bu 7’yi de bölümdeki 2’nin yanına yazarız. Sonuç 27 olur. Çıkarma işlemi sonunda kalan 0 (sıfır) olur.